Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

  • равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
  • показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
  • нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.

Показатель Раномерный закон распределения Показательный закон распределения
Определение Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке [a;b] и имеет вид Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид
формула формула
где λ – постоянная положительная величина
Функция распределения формула формула
Вероятность попадания в интервал формула формула
Математическое ожидание формула формула
Дисперсия формула формула
Среднее квадратическое отклонение формула формула

Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»

Задача 1.

Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.

Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.

2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х1<Х<х2)=(х21)/(b-a).
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х1<Х<х2)=(х21)/(b-a).
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2. М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение, то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:

таблица

2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e−λa − e−λb.
P(1 < X < 4) = e−5*1 − e−5*4 = e−5 − e−20.

3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле: P(a < X < b) = e−λa − e−λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e−λ*2 − e−λ*∞ = e−2λ − e−∞= e−2λ - 0 = e−10 (т.к. предел e−х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Находим для показательного распределения:

  • математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
  • дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ2= 1/25 = 0,04;
  • среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Другие статьи по данной теме:

Список использованных источников

  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. - "Высшая школа", 2004;
  2. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
  3. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
  4. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ - Екатеринбург, 2008.




Делопроизводство
Этика и психология делового общения
Методы исследования


2012-2015 © Лана Забродская (в Google+). При копировании материалов сайта ссылка на источник обязательна