Непрерывные случайные величины. Примеры решения задач

Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). различают непрерывные и дискретные случайные величины.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина Х, если ее функция распределения (интегральная функция распределения) представима в виде:

формула

где f(x) – некоторая неотрицательная функция, такая что

формула

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X (дифференциальной функцией распределения).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значение в заданном промежутке, вычисляется следующим образом:

формула

Примеры распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х:

При решении задач широко используют числовые характеристики непрерывных случайных величин (таблица 1).

Таблица 1 - Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Числовая характеристика Обозначение и формула
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х формула
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то математическое ожидание вычисляют формула
Дисперсия непрерывной случайной величины Х формула
иначе формула
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то дисперсию вычисляют формула
иначе формула
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х формула

Пример решения задачи по теме «Непрерывные случайные величины»

Задача. Известна плотность вероятности случайной величины:

формула

Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания X в интервал (-π/4; π/4).
Построить графики f(x), F(x).

Решение. 1. Зная свойства плотности вероятности - функции f(х), найдем неизвестный параметр а. Из неравенства f(х)≥0, делаем вывод, что а≥0. Далее:

формула

Вычислим данный интеграл. Зная, что его значение должно быть равно единице, выразим а.

формула

= а-(-а)=2а. Зная, что

формула

получаем 2а=1, отсюда а=1/2.

график

График функции f(x) - плотности распределения вероятностей случайной величины представлен на рисунке 1.

2. Для нахождения функции F(x) используем формулу, определяющую интегральную функцию распределения. Так как f(x) задана различным образом на трех разных интервалах, то выражение для F(x) находим отдельно для каждого интервала.

формула

если х ≤ 0

Если 0 < х ≤ π, то

формула

= ½ (-cosx + cos0) = ½ (1-cosx)

Если х > π, то

формула

Искомая интегральная функция принимает окончательный вид:

формула

График функции F(x) представлен на рисунке 2.

график

3. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-π/4; π/4) найдем по формуле: P(a<x<b)=F(b)-F(a).
P(-π/4 < x < π/4) = F(π/4) - F(-π/4) = ½ (1-cos π/4) – 0 = ½ (1-½√2).

Другие статьи по данной теме:

Список использованных источников

  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. - "Высшая школа", 2004;
  2. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
  3. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
  4. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ - Екатеринбург, 2008.




Делопроизводство
Этика и психология делового общения
Методы исследования


2012-2015 © Лана Забродская (в Google+). При копировании материалов сайта ссылка на источник обязательна