Другие дисциплины › Методы исследования › Теория вероятностей. Примеры решения задач

Повторение независимых испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона

Рассмотрим ситуацию, в которой одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других.

Пусть некоторый опыт (испытание) повторяется n раз. Будем считать, что вероятность осуществления события A, связанного с данным опытом, при каждом повторении опыта остается неизменной и равна p (0<р<1). Тогда вероятность того, что событие A не осуществится, также будет неизменной и равной q = 1 – p. Такая последовательность проведения одного и того же опыта называется последовательностью (повторением) независимых испытаний.

Независимость понимается в том смысле, что вероятность осуществления события A в любом по номеру повторении опыта не зависит от результатов опыта при всех других повторениях. Найдем вероятность P_n(k) того, что событие A в n испытаниях произойдет k раз.

1. Формула Бернулли. Примеры применения формулы Бернулли

Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности) находят по формуле Бернулли, если n является достаточно небольшим значением:

P_n(k) = С_n^k p^k q^n-k, где С_n^k = n! / k!(n-k)! – число сочетаний из n по k, р – вероятность события А, q – вероятность противоположного события Ā.

В различных задачах приходится находить следующие вероятности:

• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит менее m раз: Р_n(k<m) = Р_n(0)+ Р_n(1)+…+Р_n(m-1);
• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит более m раз: Р_n(k>m) = Р_n(m+1)+ Р_n(m+2)+…+ Р_n(n);
• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не более m раз: Р_n(k≤m) = Р_n(0)+ Р_n(1)+…+Р_n(m);
• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее m раз: Р_n(k≥m) = Р_n(m)+ Р_n(m+1)+…+ Р_n(n);
• вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее k1 и не более k2 раз: Р_n(k1≤k≤k2) = Р_n(k1)+…+Р_n(k2).

Задача 1.

Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при десятикратном подбрасывании монеты герб выпадет 3 раза?

Решение. Число испытаний n=10 невелико, поэтому вероятность можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли:

P₁₀(3) = С₁₀³ p³ q^10-3, где С₁₀³ = 10! / 3!(10-3)! = 120, р=1/2, q=1-р=1/2.
P₁₀(3) = 120*(1/2)³*(1/2)⁷=120*1/2¹⁰=120/1024=15/128≈0,117

Задача 2.

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) ровно две девочки; б) не более двух девочек; в) более двух девочек; г) не менее двух и не более трех девочек. Вероятность рождения девочки принять равной 0,48.

Решение. Число испытаний n=5 невелико, поэтому вероятность можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли:

а) P₅(2) = С₅² p² q^5-2, где С₅² = 5! / 2!(5-2)!=10, р=0,48, q=1-р=0,52.
P₅(2) = 10*(0,48)²*(0,52)³ ≈ 0,32.

б) вероятность того, что среди пяти детей не более двух девочек, равна Р₅(k≤2) = Р₅(0)+Р₅(1)+Р₅(2).
P₅(0) = С₅⁰ p⁰ q^5-0 = q⁵ =0,525 ≈ 0,038
P₅(1) = С₅¹ p¹ q^5-1 = 5рq⁴ =5*0,48*0,524 ≈ 0,175
P₅(2) ≈ 0,32 (смотри п. а)
Тогда Р₅(k≤2) = Р₅(0)+Р₅(1)+Р₅(2) ≈ 0,038+0,175+0,32 = 0,533.

в) событие А = {среди пяти детей более двух девочек} противоположно событию А̄ = {среди пяти детей не более двух девочек}, поэтому его вероятность равна Р₅(3≤k≤5)=1- Р₅(k≤2)=1-0,533=0,467.

г) вероятность того, что среди пяти детей не менее двух, но не более трех девочек, равна Р₅(2≤k≤3)= Р₅(2)+Р₅(3),
Р₅(2) ≈ 0,32 (смотри п. а), P₅(3) = С₅³ p³ q^5-3 = 10*0,483*0,522 ≈0,299
Тогда Р₅(2≤k≤3)= Р₅(2)+Р₅(3) ≈ 0,32+0,299 = 0,619.

2. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона. Пример применения локальной формулы Лапласа

Если число испытаний n велико, а вероятность р не очень мала, то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз находят по локальной формуле Лапласа (Муавра-Лапласа):

где

В приложении приведены значения функции ϕ(x) (таблица 1). При x>5 полагают ϕ(x)≈0, для отрицательных значений x пользуются тем, что функция ϕ(x) четная, и, следовательно, ϕ(− x) = ϕ(x).

Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз находится по интегральной формуле Лапласа:
Рn(k1≤ k≤ k2) = Φ(x2) − Φ(x1), где

при этом

В приложении приведены значения функции Лапласа Φ(x) (таблица 2). При x>5 полагают Φ(x)≈0,5, для отрицательных значений x пользуются тем, что функция Φ(x) нечетная, и, следовательно, Φ(− x) = −Φ(x).

Если число испытаний n велико, а вероятность p появления события А в каждом испытании очень мала, то вероятность того, что это событие наступит ровно k раз находят по приближенной формуле Пуассона:

Обозначив λ = np – среднее число успехов в серии испытаний, получим

В приложении можно определить значение p(k;λ) по заданным k и λ (таблица 3).

Задача 3.

Вероятность появления события А в каждом их 2400 независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что это событие наступит ровно 1400 раз.

Решение. Число испытаний n=2400 велико, р=0,6 не очень мала, поэтому воспользуемся локальной формулой Лапласа.

Далее имеем: q=1-0,6=0,4, k=1400, np=2400*0,6=1440, npq=2400*0,6*0,4=576, х=(k-np)/√npq = (1400-1440)/√576 = (-40)/24≈-1,67.

Поскольку функция ϕ(x) четная, то ϕ(−1,67) = ϕ(1,67). По таблице 1 из приложения находим ϕ(1,67)≈0,0989. По приближенной локальной формуле Лапласа находим вероятность Р₂₄₀₀(1400)≈(1/24)* ϕ(1,67)≈0,0989/24≈0,0041.

3. Наивероятнейшее число успехов. Пример решения задачи

Число k₀ называется наивероятнейшим, если вероятность Рn(k₀) того, то событие A наступит в n испытаниях ровно k₀ раз, является наибольшей из всех вероятностей Pn(k), k = 0, 1, …, n. Наивероятнейшее число k₀ определяется из двойного неравенства:
np − q ≤ k₀≤ np + p, причем:

• если число np − q – нецелое, то существует единственное k₀;
• если число np − q – целое, то наивероятнейших числа два, а именно: k₀′ = np − q и k₀′′ = np + p = k₀′ + 1;
• если np – целое, то k₀ = np

Задача 4.

Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 20?

Решение. По условию k₀=20, р=0,4, q=1-р=0,6. Воспользуемся двойным неравенством, из которого определяется наивероятнейшее число k₀: np−q≤k₀≤np+p. Подставляя данные задачи, получим неравенство 0,4n−0,6≤20≤0,4n+0,4.

Решаем отдельно каждое неравенство, входящее в данное двойное неравенство:
0,4n−0,6 ≤ 20; 0,4n ≤ 20+0,6; 0,4n ≤ 20,6; n ≤ 20,6/0,4; n ≤ 51,5
20 ≤ 0,4n+0,4; 20-0,4 ≤ 0,4n; 19,6 ≤ 0,4n; 19,6/0,4 ≤ n; 49 ≤ n

Окончательно имеем: 49 ≤ n ≤ 51,5, т.е. n может быть равно 49, 50, 51.

Ответ. Искомое число испытаний должно быть равно 49 или 50 или 51.

Другие статьи по данной теме:

• назад: Формула полной вероятности. Формулы Бейеса. Примеры решения задач
• далее: Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры решения задач
• Приложения: таблицы локальной и интегральной функции Лапласа, вероятностей распределения Пуассона

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. - "Высшая школа", 2004;
2. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
3. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
4. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ - Екатеринбург, 2008.