Другие дисциплины › Методы исследования › Теория вероятностей. Примеры решения задач

Задачи ОГЭ и ЕГЭ, решаемые по правилам сложения и умножения вероятностей

В открытом банке заданий ОГЭ и ЕГЭ в разделе «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» есть задачи, для решения которых необходимо знать не только классическое определение вероятности, но и правила сложения и умножения вероятностей. Вспомним эти правила и разберем примеры решения задач.

• Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (подсказка: по смыслу в тексте задачи такие события можно связать союзом «ИЛИ»). Сумма двух событий обозначается А+В.
• правило сложения вероятностей несовместных событий А и В (несовместные события не могут произойти одновременно в одном испытании):
  Р(А+В) = Р(А)+Р(В), где Р(А) – вероятность события А, Р(В) – вероятность события В.
• Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в том, что каждое из них произойдет (подсказка: по смыслу в тексте задачи такие события можно связать союзом «И»). Произведение двух событий обозначается А*В.
• правило умножения вероятностей независимых событий А и В (появление одного независимого события не меняет вероятности наступления другого):
  Р(А*В) = Р(А)*Р(В), где Р(А) – вероятность события А, Р(В) – вероятность события В.

Применяем правило сложения вероятностей несовместных событий при решении задач

Задача 1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Окружность», равна 0,21. Вероятность того, что это вопрос по теме «Углы», равна 0,33. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. События А={школьнику достанется вопрос по теме «Окружность»} и В={школьнику достанется вопрос по теме «Угол»} являются несовместными, то есть не могут произойти одновременно в одном испытании.
Событие D={школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем} означает наступление события А или события В, то есть D=А+В.
По формуле вероятности суммы двух несовместных событий находим: Р(D)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 0,21+0,33=0,54

Задача 2. На тестировании по географии учащийся Петров решает задачи:
- вероятность того, что он верно решит больше 10 задач, равна 0,67;
- вероятность того, что он верно решит больше 9 задач, равна 0,75.
Найдите вероятность того, что Петров верно решит ровно 10 задач.

Решение. Рассмотрим события:
А={Петров верно решит 10 задач}, Р(А) -?
В={Петров верно решит больше 10 задач}, Р(В)=0,67
А и В являются несовместными событиями, тогда наступление события А или события В означает, что {Петров верно решит больше 9 задач}.
Это есть сумма событий А+В ={Петров верно решит больше 9 задач}, Р(А+В)=0,75
По формуле вероятности суммы двух несовместных событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Отсюда находим Р(А) = Р(А+В) – Р(В) = 0,75-0,67=0,08

Применяем правило умножения вероятностей независимых событий при решении задач

Задача 3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,07. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение. Событие А={батарейка исправна} противоположно событию А̄={батарейка бракованная}, Р(А̄)=0,07. Тогда Р(А) = 1-0,07=0,93.
Вероятность произведения независимых событий А*А={обе батарейки исправны} (первая батарейка исправна и вторая исправна) находим по правилу: Р(А*А)=Р(А)*Р(А)= 0,93*0,93=0,8649

Задача 4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.Событие А = {Биатлонист попал в мишень} противоположно событию А̄={Биатлонист промахнулся}. Р(А)=0,7, тогда Р(А̄)=1-0,7=0,3. Находим вероятность события В=А*А*А*А̄*А̄, применяя правило умножения вероятностей независимых событий: Р(В)= Р(А)*Р(А)*Р(А)*Р(А̄)*Р(А̄)= 0,7*0,7*0,7*0,3*0,3=0,03087≈0,03.

Применяем в одной задаче правила сложения и умножения вероятностей

Задача 5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. Событие D={батарейка будет забракована системой контроля} может произойти только в следующих случаях:
A = {батарейка неисправна и забракована}, Р(А)=0,02*0,99=0,0198
или
В = {батарейка исправна и забракована по ошибке}, Р(В)=(1-0,02)*0,01=0,0098
Поскольку А и В несовместные события, то D=А+В. Тогда: Р(D)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,0198+0,0098=0,0296.

Задача 6. Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,65. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,28. Шахматисты играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет хотя бы одну из партий.

Решение. По условию задачи события {А играет белыми и выигрывает} и {А играет черными и выигрывает} являются независимыми.
В ситуации, когда шахматисты играют две партии и во второй партии меняют цвет фигур (порядок смены цвета не влияет на результат), возможны следующие исходы:
1. шахматист А выигрывает и белыми, и черными; Р1 = 0,65*0,28=0,182
2. шахматист А выигрывает белыми и проигрывает черными; Р2 = 0,65*(1-0,28)=0,468
3. шахматист А проигрывает белыми и выигрывает черными; Р3 = (1-0,65)*0,28=0,098
4. шахматист А проигрывает белыми и проигрывает черными; Р4 = (1-0,65)*(1-0,28)=0,252
Вероятность события {А выиграет хотя бы одну из партий} находим одним из следующих способов:
1 способ - как вероятность суммы несовместных событий 1, 2, 3: Р = Р1+Р2+Р3=0,182+0,468+0,098=0,748.
2 способ – как вероятность события, противоположного четвертому (заметим, что сумма вероятностей Р1+Р2+Р3+Р4=1): Р = 1-Р4 = 1-0,252=0,748.

Другие статьи по данной теме:

• назад: Операции над событиями. Правила сложения и умножения вероятностей
• далее: Формула полной вероятности. Формулы Бейеса. Примеры решения задач

Список использованных источников

1. Алимов А.Ш., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни / Учебник. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2016;
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. - "Высшая школа", 2004;
3. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
4. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
5. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ - Екатеринбург, 2008;
6. Яковлев И. В. Комбинаторика-олимпиаднику - MathUs.ru.